Para el hombre los primeros conocimientos geométricos se limitaban a un sencillo conjunto de reglas prácticas, pues para que la Geometría fuera considerada una ciencia hubo de transcurrir muchos siglos, hasta llegar a la cultura griega.
En efecto en Grecia fue donde se empezaron a ordenar los conocimientos empíricos adquiridos por el hombre a través del tiempo, remplazando la observación y la practica con deducciones racionales que permitieron elevar la Geometría hasta un plano rigurosamente científico.
En cualquier ciencia, y principalmente la Geometría, se aplica el método deductivo, que consiste en encadenar conocimientos que se suponen verdaderos con el objetivo de obtener nuevos conocimientos o nuevas proposiciones como consecuencia lógicas de otras anteriores. Sin embargo, no todas las propiedades son consecuencia de otras, pues algunas se aceptan como ciertas por sí mismas, tal es el caso de los AXIOMAS y los POSTULADOS.
Por otra parte, están las preposiciones que exponen con claridad y precisión los caracteres de una cosa, y una característica de la Geometría moderna consiste precisamente en evitar la definición de conceptos primarios que tengan poco o ningún sentid. Así, por ejemplo: “Punto es lo que no tiene partes”, “Línea es una longitud sin anchura”, otras, se basan en conceptos (partes, anchura) cuya definición es más compleja que lo que se trata de definir.
Por lo que, es necesario que los maestros de matemática, específicamente geometría deban evaluar sus técnicas pedagógicas e introducir nuevas tecnologías altamente eficaces qué necesite cada uno de sus alumnos, cómo ordenar (¡o desordenar!) los contenidos y objetivos de los programas para que sean mejor aprendidos, qué recursos y materiales utilizar en cada situación de aprendizaje…Todos estos conocimientos llegan a ser tan importante como la presencia de las Nuevas tecnologías.
Las Nuevas Tecnologías y Herramientas para la Enseñanza de la Geometría.
1.- Definición de Geometría:
Es una rama que se ocupa de las propiedades de la figura geométrica en el plano o en el espacio como son: puntos, rectas, polígonos, paralelas, curvas, entre otros. Sus orígenes se remonta a la solución de problemas concretos, relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo: el compás, el teodolito y el pantógrafo, tiene su aplicación práctica en física, cartografía, topografía, entre otras.
Es una de más antiguas ciencia inicialmente construía un cuerpo de conocimiento práctico en relación con las longitudes, áreas y volúmenes.
El sentido etimológico de la palabra geometría es el de “medida de la Tierra”, lo que nos recuerda que el origen histórico de esa parte de la matemáticas ha de buscarse en el desarrollo de la agrimensura y la construcción, en el marco de antiguas civilizaciones como la egipcia, la babilónica, la hindú o en la china. La cultura griega adoptó ese conjunto de conocimientos, aunque transformándolos de una manera decisiva; en efecto, fueron los griegos quienes organizaron el saber geométrico tradicional en forma de sistema deductivo, como un conjunto de verdades derivadas lógicamente.
Cada una de ellas, de otras verdades anteriormente establecidas, o de axiomas explícitamente aceptados sin demostración. De hecho, esa naturaleza deductiva que hoy nos parece inseparable de la matemática en general, apareció por vez primera en Grecia hacia el siglo V.a.c, alcanzando su formulación más acabada en los Elementos de Euclides.
1.2.- Aspectos de la Geometría:
La notable importancia histórica de la geometría en el pasado, en particular como un prototipo de una teoría axiomática, es de tal manera reconocida universalmente que no requiere más comentarios. Sobre ello, en el siglo pasado y específicamente durante las últimas décadas como aseveró Jean Dicudonné en el ICME 4 ( Berkeley, 1980), la geometría “exclamando desde sus estrechos confines tradicionales ha revelado sus poderes ocultos y su extraordinaria versatilidad y adaptabilidad, transformándose así en una de las herramientas más universales y útiles en todas partes de las matemáticas” (p.5-7).
En la actualidad, la geometría incluye tal diversidad de aspectos; aquí mencionaremos solamente aquellos aspectos que en nuestra opinión son particularmente relevantes en vista de sus implicaciones didácticas. Entre éstas tenemos:
a.- La Geometría como la ciencia del espacio. Desde sus raíces como una herramienta para describir y medir figuras, la geometría ha crecido hacia una teoría de ideas y métodos mediante las cuales podemos construir y estudiar modelos idealizados tanto del mundo físico como también de otros fenómenos del mundo real. De acuerdo a diferentes puntos de vista, tenemos geometría euclideana, afin, descriptiva y proyectiva, así como también topología o geometrías no euclideanas y combinatorias.
b.- La Geometría como un método para las representaciones visuales de conceptos y procesos de otras áreas en matemáticas y en otras ciencias; por ejemplo gráficas y teoría de gráficas, diagramas de varias clases, histogramas.
c.- La Geometría como un punto de encuentro entre matemáticas como una teoría y matemáticas como una fuente de modelos.
d.- La Geometría como una manera de pensar y entender y, en un nivel más alto, como una teoría formal.
e.- La Geometría como un ejemplo paradigmático para la enseñanza del razonamiento deductivo.
f.- La Geometría como una herramienta en aplicaciones, tanto tradicionales como innovativas. Estas últimas incluyen por ejemplo, gráficas por computadora, procesamiento y manipulación de imágenes, reconocimiento de patrones, robótica, investigación de operaciones.
Otra distinción podría ser hecha respecto a diversas aproximaciones de acuerdo a lo que uno puede resolver con geometría. En términos generales, son posibles las aproximaciones: Manipulativas, Intuitivas, Deductivas y Analíticas.
También se puede distinguir entre una geometría que enfatice las propiedades "estáticas" de los objetos geométricos y una geometría donde los objetos cambian respecto a los diferentes tipos de transformaciones en el espacio al ser considerados en una presentación "dinámica".
1.3- La Geometría en Educación
En las secciones anteriores hemos considerado a la geometría principalmente como una teoría matemática y hemos analizado algunos aspectos de su enseñanza. Dado que el aprendizaje es incuestionablemente el otro polo esencial de cualquier proyecto educativo, es apropiado poner la debida atención a las principales variables que intervienen en un proceso coherente de enseñanza - aprendizaje. Consecuentemente, diferentes aspectos o "dimensiones" (consideradas en su más amplio significado) deben ser tomados en cuenta:
a. La dimensión social, con dos polos:
El polo cultural, i.e. la construcción de antecedentes comunes (conocimiento y lenguaje) para toda la gente que comparte una misma civilización.
El polo educativo, i.e. el desarrollo de criterios, internos para cada individuo, para su auto consistencia y responsabilidad.
b. La dimensión cognitiva, i.e. los procesos con los cuales, partiendo de la realidad, se conduce gradualmente hacia una percepción más refinada del espacio.
c. La dimensión epistemológica, i.e. la habilidad para explorar el interjuego entre la realidad y la teoría a través del modelado (hacer previsiones, evaluar sus efectos, reconsiderar selecciones). Es así que la axiomatización permite liberarse de la realidad; de esta manera puede ser vista como un recurso que facilita futuras conceptualizaciones.
d. La dimensión didáctica, i.e. la relación entre la enseñanza y el aprendizaje. En esta dimensión se encuentran muchos aspectos que merecen consideración. Como un ejemplo, listamos tres de ellos:
Hacer que interactúen varios campos (tanto al interior de la matemática como entre las matemáticas y otras ciencias).
Asegurar que los puntos de vista de los profesores y los estudiantes sean consistentes en un estudio dado. Por ejemplo, tener en cuenta que distintas escalas de distancia pueden involucrar diferentes concepciones y procesos adoptados por los estudiantes aún cuando la situación matemática sea la misma: En un "espacio de objetos pequeños", la percepción visual puede ayudar para hacer conjeturas y para identificar propiedades geométricas; cuando se está tratando con el espacio donde usualmente nos movemos (por ejemplo, el salón de clases) todavía resulta fácil obtener información local, pero puede dificultarse lograr una visión global; en un "espacio a gran escala" (como es el caso de la geografía o de la astronomía) las representaciones simbólicas son necesarias a fin de analizar sus propiedades.
Dar la debida consideración a la influencia de las herramientas disponibles en situaciones de enseñanza y de aprendizaje (desde la regla y compás tanto como otros materiales concretos, hasta calculadoras graficadoras, computadoras y software específico)
No se necesita decir que todas estas dimensiones están interrelacionadas unas con otras y que también debieran relacionarse apropiadamente a las diferentes edades y niveles escolares: pre-primaria, primaria, secundaria, medio superior (en donde se empiezan a diferenciar las vocaciones académicas y técnicas), universitario incluyendo la formación de profesores.
1.4- Crisis en la enseñanza de la geometría
Durante la segunda mitad de este siglo, la geometría parece tener una pérdida progresiva de su posición formativa central en la enseñanza de las matemáticas de la mayoría de los países. Este decaimiento ha sido tanto cualitativo como cuantitativo. Síntomas de esta reducción se encuentran por ejemplo, en los recientes encuestas nacionales e internacionales sobre el conocimiento matemático de los estudiantes. Con frecuencia la geometría es totalmente ignorada en ellas, o solamente se incluyen muy pocos items de geometría. En último caso, las preguntas tienden a ser confinadas a algunos "hechos" elementales sobre figuras simples y sus propiedades, y se reporta un desempeño relativamente pobre.
¿Cuáles son las principales causas de esta situación?
En el período desde aproximadamente 1960 hasta 1980, se dio una presión general en el currículo matemático contra tópicos tradicionales, debido a la introducción de otros nuevos (por ejemplo: probabilidad, estadística, ciencias computacionales, matemáticas discretas). Al mismo tiempo el número de horas escolares dedicadas a las matemáticas se fue abajo. El "movimiento de las matemáticas modernas" ha contribuido - al menos indirectamente - para disminuir el rol de la geometría euclideana favoreciendo otros aspectos de la matemática y otros puntos de vista para su enseñanza (por ejemplo: teoría de conjuntos, lógica, estructuras abstractas). La declinación ha involucrado en particular el rol de los aspectos visuales de la geometría tanto la tridimensional como la bidimensional, y todas aquellas partes que no encajaron dentro de la teoría de los espacios lineales como, por ejemplo, el estudio de las secciones cónicas y de otras curvas notables.
En años más recientes ha habido un retorno hacia contenidos más tradicionales en matemáticas, con un énfasis específico sobre actividades de planteamiento y solución de problemas. De cualquier manera, los intentos de restablecer la geometría euclideana clásica - la que al principio y en muchas partes del mundo fue la materia principal en la geometría escolar - no han sido muy exitosos. El punto es que en los cursos tradicionales de geometría euclideana el material es usualmente presentado a los estudiantes como el producto final y ya hecho de la actividad matemática. Así, esta presentación, no encaja dentro del currículo actual donde se espera que los alumnos tomen una parte activa en el desarrollo de su conocimiento matemático.
En la mayoría de los países el porcentaje de gente joven que atiende al nivel medio superior se ha incrementado muy rápido durante las últimas décadas. Así, la forma tradicional de enseñar geometría abstracta a una selecta minoría ha resultado más difícil e inapropiada para las expectativas de la mayoría de estudiantes de las nuevas generaciones. Al mismo tiempo, la necesidad de más profesores ha causado, en promedio, una disminución en su preparación universitaria, especialmente en lo que respecta a las partes más demandantes de las matemáticas, en particular la geometría. Desde que profesores más jóvenes han aprendido matemáticas bajo curricula que han descuidado la geometría, les hacen falta buenos antecedentes en este campo, lo cual genera en ellos la tendencia a descuidar la enseñanza de la geometría a sus alumnos.
La situación es aún más dramática en aquellos países donde hay poca tradición escolar. En algunos casos la geometría está completamente ausente en sus currículos matemáticos.
La brecha entre la concepción de la geometría como un área de investigación y como una materia a ser enseñada en las escuelas parece estar incrementándose; pero no parece encontrarse consenso en cómo superar esta brecha, ni aún si pudiera (o debiera) ser superada a través de la introducción de más tópicos avanzados en los grados inferiores del currículo escolar.
1.5.- Enseñanza de la Geometría:
Para poder realizar una adecuada enseñanza de la Geometría, es necesario organizar y agrupar los siguientes aspectos.
a.- La Geometría que se requiere enseñar.
b.- La preparación del profesor en relación con la Geometría que se va a exponer.
c.- La preparación adecuada para poder aprender significativamente o mecánicamente los contenidos correspondientes.
La Geometría desde sus orígenes ha sido interpretada como una teoría de medición o como una teoría de lo directamente mensurable, originando esto una forma de Geometría aplicada y métrica que ha influido en los progresos didácticos. Posteriormente surgen otras interpretaciones: La Geometría pura; la Geometría no- euclídea; la Geometría diferencial; la Geometría como rama de la Física; la Geometría proyectiva.
Por lo que, se alcanza la postura de la Geometría finalmente como un sistema de convecciones o como un esquema mental. Por ello, se deber tener presente las aptitudes para el aprendizaje de la geometría. La clasificación de estas aptitudes va a depender del tipo de Geometría considerada. En la Geometría tradicional, se consideran:
a.- Comprensión del vocabulario y de los conceptos básicos (axiomas, otros).
b.- Retención y evocación de definiciones, proposiciones y símbolos geométricos.
c.- Empleo inteligente de los enunciados aprendidos.
d.- Visualización, análisis o construcción de las figuras o formas geométricas.
e.- Razonamiento inductivo-deductivo.
f.- Discernimiento de elementos y conjuntos necesarios o convenientes.
g.- Facilidad de cálculo aplicado a los problemas geométricos.
Asimismo, la madurez en el aprendizaje de la Geometría depende de nuestra consideración de la Geometría, es decir, el reconocimiento de formas geométricas, semejanzas y diferencias, incluso generalización de formas (sin otras propiedades), se manifiesta desde edades anteriores de la escolaridad. Por tal razón, en dichas edades, cuando el sujeto todavía no ha sido adiestrado por la lectura en los movimientos de izquierda a derecha y abajo-arriba, el niño o la niña captan las formas geométricas de manera independiente de su posición. Ni sentido, ni simetría, ni giros espaciales y son problemas para estos niños y niñas pequeños que todo lo revuelven con el movimiento. Hay que aceptar que la Geometría, en cuanto a medida, ofrece la etapa de aprestamiento antes de los ocho años de edad. De ocho a once años surge la aptitud geométrico-mensuradora. A los once años las demostraciones sencillas con método experimental (experiencial). Uno a dos años después, con buenos métodos, ya caben demostraciones geométricas más complejas si se ha logrado desenvolver una franca actitud positiva.
Por ello, es de vital importancia los Métodos Didácticos de la Geometría, entre los cuales tenemos:
a.- Alusivo-manipulativo.
b.- Alusivo-constructivo
c.- Alusivo-observacional
d.- Observacional
e.- Experimental
F.- Gráfico
g.- Funcional
h.- Analítico-demostrativo
Para los alumnos cuya edad es anterior a los ocho años, los tres primeros métodos son adecuados, ya que el niño manipula cuerpos geométricos, juega con ellos, los construye y elabora nuevos “cuerpos”, los observa desde una y otra perspectiva, combina a forma y colores.
Didácticamente hablando, al aceptar el método alusivo, no es conveniente darles los nombres de los cuerpos o figuras geométricas utilizados, sin embargo, algunos aconsejan emplear el léxico de los más comunes (sin más declaraciones): triangulo, cuadrado, círculo, esfera, pirámides, otros.
En cuanto al método observacional, es adecuado para niños y niñas a partir de los ocho años, ya que fomenta en los alumnos lo que ya se hizo en etapas anteriores; es decir, darles atención dirigida sobre los elementos fundamentales y perceptibles de los cuerpos geométricos; es conveniente ir aumentando las designaciones nominales , pero sin abusar del vocabulario.
Considerando de índole activa, el método experimental, el cual pretende que los propios alumnos puedan comprobar propiedades geométricas con cuerpos desmontables o figuras pegables (recortables y ajustables). Es de gran valor, aunque pueda dar lugar a demostraciones falsas. Comúnmente se combina con método constructivo con respecto a la actividad manual; el alumno construye cuerpos geométricos cuyas estructuras no se comprenden o de poco interés en realidad vital).
Asimismo, el método grafico, ligado con el intuitivo (tiene también notas constructivas), apoya toda la enseñanza en la elaboración por parte del sujeto de las figuras geométricas, en el estudio de sus elementos y en la captación intuitiva de sus relaciones.
El método funcional utiliza los anteriores, pero desde una perspectiva particular que pretende impedir la formación estática de las figuras geométricas (verbigracia: triangulo isósceles como acutángulo con altura mayor que la base, siendo ésta el lado desigual) en la mente de los alumnos. Los cambios de posición en las figuras, el desplazamiento de las mismas, el hábito de producir giros mentales conforme a la saturación de factor espacial que existe en la geometría, el establecimiento de relaciones de grupo, giros, traslaciones), simetrías, entre otros; llevan a la verdadera intuición geométrica sin producir interferencia, en relación con las geometrías avanzadas.
El método analítico- demostrativo. Este método se recomienda para niños y niñas cuyo nivel mental sea de doce años, no se opone a los anteriores y se puede coordinar tanto con los estáticos como con los dinámicos; no se recomienda su utilización hasta haber conseguido una actitud geométrica favorable y un buen desarrollo mental. La Geometría debe establecer estructuras lógicas adecuadas y habituarse al proceso deductivo.
1.6.- El proceso de aprendizaje de la geometría.
Con objeto de clarificar los obstáculos inherentes al aprendizaje de la geometría trabajaremos dentro de la teoría propuesta por FISCHBEIN(1993), donde el objeto geométrico es tratado como poseedor de dos componentes, uno conceptual y otro figural. Una componente conceptual, a través del lenguaje escrito o hablado, con mayor grado de formalismo dependiendo del nivel de axiomatización con la que se esté trabajando, expresa propiedades que caracterizan una cierta clase de objetos. Una componente figural corresponde a la imagen mental que asociamos al concepto, y que en el caso de la Geometría, tiene la característica de poder ser manipulada a través de movimientos como translación, rotación, y otros, pero manteniendo invariantes ciertas relaciones. La harmonía entre estas dos componentes es la que determina la noción correcta sobre el objeto geométrico. La formación de la imagen mental, en el dibujo asociado al objeto geométrico desempeña un papel fundamental. Para un alumno no es del todo claro que el dibujo es una parte de la representación del objeto. Si por un lado el diseño es un soporte concreto de expresión y entendimiento del objeto geométrico por otro lado, puede ser un obstáculo a este entendimiento. Debido a que guarda características particulares que no pertenecen al conjunto de condiciones geométricas que definen un objeto. Es interesante observar que, dependiendo del estadio de desarrollo mental, los alumnos trabajan meticulosamente buscando la perfección en el diseño, como si este fuese "un objeto geométrico", dejando las propiedades abstractas, que dan existencia al objeto, en segundo plano. Así mismo, confunden características físicas del dibujo con propiedades geométricas.
La interacción entre percepción y geometría se da cuando se utilizan las funciones de los programas para verificar las observaciones.
A continuación se comentan algunas de las características mas importantes de este tipo de programas. Programas informáticos como Cabri, Sketchpad, se mueven en esta filosofía y aunque generalmente han sido "patrimonio" de matemáticos para la explicación, esencialmente, de geometría tienen, sin embargo, una grandísima utilidad para la docencia de temas desde una perspectiva del dibujo y geometría descriptiva.
a.- Modificación de configuraciones.
Las figuras pueden ser modificadas atendiendo a su posición, orientación, tamaño y forma preservando o cambiando su estructura.
b.- Modificación por arrastre.
Las relaciones siguientes son generalmente invariantes durante transformaciones en modo arrastre.: paralelismo, ortogonalidad,, proporcionalidad, simetría central, simetría axial. Tengamos presente que las figuras de la segunda pantalla se han obtenido sin mas que variar los elementos de referencia de la primera es decir la recta r a la que era paralela la s, la t a la que era paralela la u, modificando la figura F se modifica su correspondiente F´ en la simetria axial, o modificando el punto A se modifica su simétrico A´en la simetría central.
c.- Modificación por redefinición.
La redefinición de objetos posibilita que la estructura de una figura cambie con el consecuente ahorro en las construcciones. En el caso del ejemplo siguiente vemos como en la aplicación del teorema de Dandelin basta con modificar un punto para que todo el dibujo se modifique. Hay que reseñar que la modificación se hace en "tiempo real" lo cual implica que podemos estar desarrollando la clase con una explicación a los alumnos y modificar el parámetro deseado para que se reconfigure instantáneamente todo el ejercicio.
1.7.- Nuevas Tecnologías y Herramientas para la Enseñanza de la Geometría:
Hay una larga tradición de matemáticos que hacen uso de herramientas tecnológicas y recíprocamente, el uso de estas herramientas ha hecho surgir nuevos retos en problemas matemáticos (por ejemplo, la regla y el compás para las construcciones geométricas, los logaritmos y los instrumentos mecánicos para los cómputos numéricos). En años recientes la nueva tecnología, y en particular las computadoras han afectado dramáticamente todos los aspectos de nuestra sociedad. Muchas actividades tradicionales se han vuelto obsoletas mientras que nuevas profesiones y nuevos retos emergen. Por ejemplo, el dibujo técnico ya no se hace a mano. En su lugar uno usa software comercial, plotters y otros accesorios tecnológicos. CAD-CAM y software para álgebra simbólica están ampliamente disponibles.
Las computadoras también han hecho posible la construcción de "realidades virtuales" y la generación de animaciones interactivas o cuadros maravillosos (por ejemplo, imágenes fractales). Más aún, los accesorios electrónicos pueden ser usados para lograr experiencias que en la vida cotidiana son inaccesibles, o accesibles solamente a través de trabajo sumamente tedioso y que generalmente consume muchísimo tiempo.
Por supuesto, en todas estas actividades la geometría está profundamente involucrada tanto para promover la habilidad de usar herramientas tecnológicas apropiadamente, como para interpretar y entender el significado de las imágenes producidas.
Las computadoras pueden también ser usadas para obtener un entendimiento más profundo de las estructuras geométricas gracias al software específicamente diseñado para fines didácticos. Los ejemplos incluyen la posibilidad de simular las construcciones tradicionales con regla y compás, o la posibilidad de mover los elementos básicos de una configuración sobre la pantalla mientras se mantienen fijas las relaciones geométricas existentes, lo cual puede conducir a una presentación dinámica de objetos geométricos y favorecer la identificación de sus invariantes.
Hasta ahora, la práctica escolar ha sido sólo marginalmente influida por estas innovaciones. Pero en el futuro cercano es posible que al menos algunos de estos tópicos encuentren su camino dentro de las currícula. Esto implicaría en grandes términos los siguientes cuestionamientos:
¿Cómo afectará el uso de las computadoras la enseñanza de la geometría, sus propósitos, sus contenidos y sus métodos?
¿Serán preservados los valores culturales de la geometría clásica, o éstos evolucionarán, y cómo?
En países en los que las restricciones financieras no permiten la introducción masiva de computadoras a las escuelas en un futuro cercano, ¿aún así será posible reestructurar la currícula de geometría a fin de enfrentar los principales retos originados por estos recursos tecnológicos?.
En esta sección listamos explícitamente algunas de las preguntas más relevantes desprendidas de las consideraciones delineadas en las secciones precedentes. Creemos que una clarificación de estos aspectos podría contribuir a una promoción significativa en la enseñanza de la geometría. Por supuesto no afirmamos que todos los problemas bosquejados son solubles y menos aún, que las soluciones son únicas y tienen una validez universal. Por el contrario, las soluciones pueden variar según los diferentes niveles escolares, los diferentes tipos de escuelas y los diferentes ambientes culturales.
Lo fundamental, en este tema es que la informática se entienda como una herramienta escolar y que, utilizarla el docente cuente con criterios básicos sobre cuándo y para qué sus alumnos pueden beneficiarse de esa tecnología.
Por lo que, indispensable que el docente proponga:
a.- Que se estimule el desarrollo de una didáctica etnográfica que, junto a la etnomatemática y el enfoque cualitativo de las investigaciones, sobre las limitaciones de los modelos tradicionales.
b.- Que se realice una revisión curricular en las diferentes maestrías de Educación y Enseñanza de la Matemática, específicamente en la Geometría.
c.- Que se aporten criterios nuevos para la elaboración de los textos que se utilizan en la enseñanza de la Geometría.
d.- Proseguir el esfuerzo que sea necesario para garantizar que la educación impartida por nuestras escuelas, liceos, y en particular la Educación Matemática en cuanto a Geometría sea adecuada a las necesidades de nuestros tiempos.
Asimismo, el docente debe saber mucha Geometría a fin de que su labor sea satisfactoria. Preservar y fortalecer el interés y entusiasmo innato del estudiante por la geometría. Debe hacer el tema interesante y atractivo, de manera que los alumnos continúen estudiándolo con entusiasmo. Así como también, participar en cursos de readiestramiento, para una preparación excelente, reinstrucción debido a los cambios que se ha experimentado actualmente. Para que revisen sus programas, de manera que sus egresados estén preparados convenientemente para nuevos cursos. Conducir la enseñanza, de tal forma que propicien tanto la adquisición de sólidos conocimientos, habilidades y hábitos, como la formación de un pensamiento que haga capaz a los alumnos de asimilar los progresos científicos y técnicos de incorporarse activa, independiente, libre iniciativa y creadoramente a la sociedad.
Por ello, uno de los componentes esenciales de un proceso eficiente de enseñanza - aprendizaje, es la buena preparación de los docentes, en lo que concierne tanto a competencias disciplinares y educativas, epistemológicas, tecnológicas y aspectos sociales. En consecuencia, ¿Qué preparación específica (y realmente alcanzable) se requiere para los profesores prospectos y practicantes?
Es bien sabido que los profesores tienden a reproducir en su profesión los mismos modelos que ellos experimentaron cuando fueron estudiantes, a pesar de que posteriormente han sido expuestos a diferentes puntos de vista. ¿Cómo es entonces posible motivar la necesidad de cambios en la perspectiva de enseñanza de la geometría (tanto del punto de vista de los contenidos como el metodológico)?.
Es probable que la primera labor aconsejable a los profesores de enseñanza media, sea que procuren eliminar los “errores geométricos que por enseñanza prematura aportan a los escolares”.
En el aprendizaje de la Geometría, dichos errores puede provocar que estas fobias se propaguen a materias como la Trigonometría y la Física.
Por lo que, es conveniente que los recursos para la enseñanza de ésta (libros, videos, software,…) estén disponibles para la capacitación de profesores en servicio; con el fin de favorecer una aproximación flexible y de amplio criterio para la enseñanza de la geometría.
Asimismo, debemos tener presente que, las formas de medir y evaluar a los estudiantes influyen fuertemente en las estrategias seguidas para la enseñanza y el aprendizaje. ¿Cómo deberíamos establecer los objetivos y propósitos y cómo debiéramos construir nuestras técnicas de medición de manera consistente con estos objetivos y propósitos? ¿Existen aspectos de la evaluación peculiares de la enseñanza y el aprendizaje de la geometría?
¿Cómo pueden influir el uso de las calculadoras, computadoras y software específico en el análisis de los contenidos, organización y criterios de evaluación de las respuestas de los estudiantes?
¿Los procedimientos de medición debieran estar fundamentados principalmente en exámenes escritos (cómo parece acostumbrarse en muchos países) o también debieran estarlo en el papel de la comunicación oral, del dibujo técnico y del trabajo con la computadora?
¿Qué es exactamente lo que debiera ser evaluado y considerado para una calificación: La solución? ¿El proceso de solución? ¿Las formas de pensamiento? ¿Las construcciones geométricas?
Por tal razón, la corrección didáctica en la enseñanza de la Geometría precipitadamente suelen proponerse a los alumnos diversas definiciones inadecuadas (unas al preciso concepto geométrico, otras al insuficiente desarrollo mental de los escolares).
Por lo que, la medida precorrectiva de mayor interés es la que renuncia a las definiciones cuando por su dificultad intrínseca no puede ser aprehendidas por los niños. Así, por ejemplo, hablamos del ángulo sin definirlo, comparamos ángulos, construimos ángulos, otros, sin definirlo. La definición implícita en su uso perturba tanto como la explicita inadecuada.
En Geometría, la enseñanza correctiva es una de las más necesarias, sin embargo, debe comenzar por los docentes y autores de textos escolares. Así como los libros, computadoras y otros recursos de enseñanza.
El aprendizaje es un proceso muy personal que dura toda la vida y que se establece en función de los intereses que cada uno tenga y de sus necesidades. La persona aprende mirando, escuchando, experimentando y construyendo a partir de su pasado. Al mismo tiempo, el aprendizaje debe ser una experiencia estimulante e interesante, si se quiere que sirva para algo.
Por lo que, aprender es comprender las nuevas situaciones con las que se entra en contacto y adquirir habilidades que permitan hacer lo que se desea en la vida. El aprendizaje es el medio a través del cual el sujeto interactúa con el entorno. Conforme aprende, cambia su percepción y su concepción del mundo.
Por tal razón, la calidad del aprendizaje aprenderá de varios factores estrechamente interrelacionados como son los libros, computadoras, enfoque de laboratorio u otros recursos de enseñanza que el docente utilice. Por otro lado, dependerá del estudiante, de sus aptitudes, actitudes, bagaje, conocimientos actuales y previos, motivaciones, habilidades para aprender y estrategias para estudiar, así como el texto de aprendizaje, en el que adquiere protagonismo el docente con su forma de enseñar, evaluar…, y la interacción que establezca con sus alumnos para llevar con éxito a la practica, el uso de éstas tecnologías y herramientas para la enseñanza de la geometría.
Por ello, es importante como recurso para la enseñanza de la geometría, el aprendizaje experiencial y autónomo basado en aprender de forma activa, es decir, actuando. Aprender a realizar una actividad aporta conocimientos y aprender haciendo desarrolla las habilidades para hacer algo. Aprender activamente requiere, entre otras cosas, de la atención, la memoria, la motivación y el interés. El aprendizaje experiencial es un proceso que, partiendo de la experiencia y la reflexión sobre lo que sucede, explora todas las posibilidades, actúa y toma las decisiones más adecuadas para el momento siguiente.
En este sentido, actualmente se concibe la geometría como parte de la matemática, como un saber que hay que construir partiendo de los conocimientos que se poseen y la experiencia práctica del alumno. La geometría no es un conjunto de conocimientos cerrados, sino incrementar su acceso a software, videos, materiales concretos y otros artefactos tecnológicos, en permanente desarrollo y cambio.
Estas son herramientas que permite acercarse a la realidad. Por lo tanto, es necesario relacionar los aprendizajes matemáticos, específicamente los de geometría con la vida real a través de actividades prácticas y de la manipulación de objetos concretos y familiares.
Asimismo, el uso de las modernas calculadoras permite efectuar las más diversas operaciones con una rapidez extraordinaria. Su fácil manejo y su bajo costo ha hecho de estos aparatos una herramienta habitual en el ámbito domestico y en la escuela. El uso de las calculadoras no supone que el alumno deje de ejercitarse en el cálculo mental ni en el modo tradicional de operar, sea sumando, restando, multiplicando, dividiendo o realizando operaciones más complejas como la resolución de raíces cuadradas.
La resolución de problemas, es una herramienta pedagógica de gran importancia, dado que, además de permitir al alumno ejercitarse en el uso adecuado de las operaciones matemáticas con el fin de dar respuestas a aquello que se le plantea, ayuda a desarrollar la inteligencia al aplicar en ella los conocimientos adquiridos. De este modo la información pasa a transformarse en conocimientos significativos y organizados.
El enfoque de Laboratorio para la enseñanza de la geometría, plantea el desarrollo de un conjunto de estrategias de enseñanza y aprendizaje mediante las cuales los estudiantes exploran ideas matemáticas, a través de muchos tipos de actividades centradas en el alumno: demostraciones a cargo de un alumno o del profesor, estudio individualizado o en grupos; descubrimiento o indagación de patrones, solución de problemas trabajando en pequeños grupos en experimentos diferentes.
Cabe resaltar también la Elaboración de Glosarios, como herramienta de consulta a la hora de trabajar temas sobre geometría, donde se resalte importantes términos concretos desde el nivel primaria, ya que nuestra principal tarea en geometría es trabajar y profundizar el aprendizaje de estos conceptos básicos como: geometría, punto, ángulo, entre otros.
Pensamos que otra herramienta o recurso básico para el aprendizaje de los primeros conceptos de la Geometría es el Juego, sobre todo en las primeras etapas o ciclos de la educación primaria, ya que a través de él, los niños captan e interiorizan mejor los contenidos, dado que le resulta más fácil recordar algo de lo que ellos han sido partícipe.
Como se dijo anteriormente, por mucho que las nuevas tecnologías pongan a nuestra disposición modos más o menos sofisticados de acceder a gran cantidad de información, los libros siguen siendo una herramienta básica de aprendizaje; entre estos no debe faltar un diccionario de tu propia lengua en casa para que lo consultes siempre que no entiendas una palabra. Te sacará de apuros cuando no sepas que significa una palabra. Te servirá, además, para ampliar el vocabulario y así poder comunicarse y entender mejor a los demás o lo que se estudia.
Por ultimo, tenemos uno de los medios más potentes que tienen a su disposición es Internet; sistema más moderno y con mucho futuro, que tiene como soporte la fibra óptica y los satélites, es decir, la computación.
El uso de la computadora, de Internet y del Correo electrónico, constituyen un factor de novedad que requiere, en algunos casos, un proceso de aprendizaje, es por eso que se habla de ser una de las herramientas más actualizadas para la enseñanza de la Geometría. Por ello, el docente debe promover aprendizajes significativos en tanto se atienda la incorporación al quehacer escolar del trabajo con las nuevas tecnologías, puesto que son abundantes y diversos los contenidos curriculares que son susceptibles de ser abordados utilizando tales tecnologías, como es el caso de la enseñanza de la Geometría; por lo que, se requiere que los estudiantes sean capaces de implementar todas aquellas estrategias pertinentes en relación con un verdadero y genuino trabajo en equipo que es fundamental para la formación de las futuras generaciones. Hay que tener presente que las nuevas tecnologías no pueden ser tomadas como un laboratorio de información, donde se accede con el fin de obtener de manera rápida, práctica y sencilla y, por qué no decirlo, casi mágica, todo aquello que necesitamos. Internet, especialmente, es un espacio donde deben interactuar actividades de indagación, de comunicación, de construcción y de expresión.
Como por ejemplo navegando por el blog de Lynn Allen, nos hemos enterado de un nuevo conjunto de herramientas que tendrá AutoCAD 2010, estas herramientas se encontrarán ubicadas en la pestaña Parametric, los resultados de utilizar estas herramientas son interesantes y ahorraran mucho tiempo en la edición de las entidades.
CONCLUSIÓN
Para concluir, diremos que la Geometría es considerada como una herramienta para el entendimiento, tal vez la parte de la matemática más intuitiva, concreta y ligada a la realidad. Por otra parte, la geometría como una disciplina, se apoya en un proceso extenso de formalización, el cual se ha venido desarrollando por más de 2000años en niveles crecientes de rigor, abstracción y generalidad.
Por tal razón, la investigación en geometría ha sido estimulada gratamente por muchas ideas tanto desde el interior de las matemáticas como desde otras disciplinas, incluyendo la ciencia de la computación; es decir, en el presente las enormes posibilidades de las graficas por computadoras tienen influencia en muchos aspectos de nuestras vidas con el fin de usar estas posibilidades se hace necesario una adecuada educación visual; empezar su enseñanza en una edad temprana y continuar en formas apropiadas a través de todo el currículo matemático, específicamente n geometría, los contenidos y métodos para enseñanza de la misma en los diversos niveles, desde la educación inicial, primaria, secundaria hasta la universidad, respetando el grado de madurez en los niños, niñas, jóvenes y adultos y adultas; así como también los conceptos básicos, tales como los ángulos, puntos, rectas, entre otros y ser reconsiderados en los diferentes etapas desde puntos de vista diferentes y otros puntos como el de las demostraciones, relaciones entre el de las demostraciones, relaciones entre intuición, demostraciones inductivas y deductivas y los diferentes niveles de rigor y abstracción.
Del cual se puede deducir entonces que la enseñanza de la geometría no es tarea fácil, por lo que es indispensable que el docente se dote de nuevas tecnologías y variedad de herramientas que les sean útiles para enfrentar y superar los obstáculos que emergen de la enseñanza de ésta rama en las prácticas escolares actuales; empezando por asimilar a través del análisis, y considerando las discrepancias entre la creciente importancia de la geometría para sí misma, tanto como en la investigación y en la sociedad y dónde surge la urgente necesidad de un profundo, cuidadoso y esmerado estudio, cuyos propósitos principales sean entre otras: Discutir detenidamente las metas de la enseñanza de la geometría para los diferentes niveles escolares y de acuerdo a los diferentes ambientes y tradiciones culturales. Identificar retos importantes y tendencias emergentes para el futuro y analizar sus impactos didácticos potenciales; y aprovechar y aplicar nuevos métodos de enseñanza.
